数学知识之5个初等函数性质解析(十三)
主要内容：
1.求f(x)=(4x-15)^3√(4x+9)^2的单调性区间和极值。
2.已知f(x)+9f(-x)=x,求f(x)。
3.函数y=√(20-2x)的单调和凸凹等性质
4. 函数y=2x^3+2x^2+3x的主要性质
5. y=x^2-13|x|方程的单调性及单调区间
1.求f(x)=(4x-15)^3√(4x+9)^2的单调性区间和极值。
主要内容：
通过函数的导数，求出函数的驻点，判断函数的单调性，进而求解函数f(x)=(4x-15)^3√(4x+9)^2的单调区间和极值。
解：函数f(x)对x求导，得：
y'=4*^3√(4x+9)^2+(4x-15)*2/[3*^3√(4x+9)],
=[12(4x+9)+2(4x-15)]/[3*^3√(4x+9)],
=（56x+78）/3*^3√(4x+9)],
令y'=0,则56x+78=0，即：
x=-39/28。
下面需要判断导数y'的符号问题，
分母零点x0=-9/4,又函数的定义域为全体实数，则有：
(1)当x∈(-∞，-9/4]和[-39/28,+∞]时，y’>0,
此时函数y为增函数，该区间为单调增区间。
(2)当x∈(-9/4,-39/28)时，y’<0,
此时函数y为减函数，该区间为单调减区间。
进一步可得，在x=-9/4取得极大值，
在x=-39/28处取得极小值，所以：
y极大值=f(-9/4)=0,
y极小值=f(-39/28)=-18*^3√(24/7)。
2.已知f(x)+9f(-x)=x,求f(x)。
主要内容
通过抽象函数换元、函数代换法，介绍已知f(x)+9f(-x)=x,求函数f(x)表达式的具体步骤。
思路一：抽象函数换元
设-x=t,则x=-t，代入已知条件得：
f(-t)+9f(t)=-t,
9f(t)+f(-t)=-t,
由于函数自变量可以用任意符号表示，
同时连立已知条件，得方程组：
9f(x)+f(-x)=-x……(1)
f(x)+9f(-x)=x……(2)
方程(1)*9-(2)，得：
(81-1)f(x)=-9x-x,
(9-1)f(x)=-x，
所以f(x)=-x/8。
思路二:函数代换法
设f(x)=mx+n,则：
f(-x)=-mx+n,代入已知条件得：
(mx+n)-9mx+n=x
(-8m-1)x+2n=0,
方程对任意的x都成立，则：
-8m-1=0,且2n=0。
即：m=-1/8,n=0,
所以f(x)=-x/8。
3.函数y=√(20-2x)的单调和凸凹等性质
主要内容：
本文介绍函数y=√(20-2x)的定义域、值域、极限等性质，并用导数知识判断函数的单调性和凸凹性，并求出函数的单调区间和凸凹区间。
函数的定义域值域：
根据函数特征，有：
20-2x≥0，则x≤10.
即函数的定义域为：(-∞, 10).
根式函数的值域为[0,+∞).
函数的极限：
Lim(x→10)√(20-2x)=0；
Lim(x→-∞)√(20-2x)= +∞。
函数的单调性：
∵y=√(20-2x)
∴dy/dx=-1/√(20-2x)<0,
则函数在定义(-∞, 10)上为单调减函数。
函数的凸凹性：
∵dy/dx=-√(20-2x)=-(20-2x)^(-1/2),
∴d^2y/dx^2
=(1/2)(20-2x)^(-3/2)*(-2)
=-(20-2x)^(-3/2)<0.
所以函数y在(-∞, 10)上为凸函数。
4. 函数y=2x^3+2x^2+3x的主要性质
主要内容：
本文主要介绍函数y=2x^3+2x^2+3x的定义域、单调性、值域、凸凹性及极限等性质，并举例介绍函数导数的应用，同时通过函数导数知识，求解函数的单调和凸凹区间。
函数定义域：
根据函数特征，函数y=2x^3+2x^2+3x右边表达式为自变量的多项式，即可取任意实数，故函数的定义域为：(-∞，+∞)。
函数单调性：
用导数的知识来判断函数的单调性，并求解函数的单调区间。
∵y=2x^3+2x^2+3x,
∴dy/dx=6x^2+4x+3,
对于方程6x^2+4x+3=0,有：
判别式△=4^2-4*6*3<0,即dy/dx>0.
所以函数在定义域上为增函数。
函数凸凹性：
∵dy/dx=6x^2+4x+3
∴d^2y/dx^2=4(3x+1),令d^2y/dx^2=0，则：
x=-1/3,且有：
(1)当x∈(-∞，-1/3)时，d^2y/dx^2>0,
则此时函数为凹函数。
(2)当x∈[-1/3，+∞）时，d^2y/dx^2<0,
则此时函数为凸函数。
函数的极限：
lim(x→+∞) 2x^3+2x^2+3x=-∞;
lim(x→0) 2x^3+2x^2+3x=3;
lim(x→-∞) 2x^3+2x^2+3x=+∞;
根据函数的极限可知，函数的值域为(-∞，+∞)。
5. y=x^2-13|x|方程的单调性及单调区间
主要内容：
通过去绝对值讨论方法，介绍求解绝对值方程y=x^2-13|x|的单调性及单调区间的主要步骤。
主要步骤：
解：1.当x≥0时，|x|=x,代入得：
y=x^2-13|x|=x^2-13x,
对称轴x=-(-13)/2=13/2>0,
此时二次方程开口向上，则有：
(1)当x∈[0,13/2]时，函数y为减函数，
该区间为二次函数的减区间；
(2)当x∈(13/2,+∞)时，函数y为增函数，
该区间为二次函数的增区间。
2.当x＜0时，|x|=-x,代入得：
y=1x^2-13|x|=1x^2+13x,
对称轴x=-13/2＜0,
此时二次方程开口向上，则有：
(1)当x∈[-13/2,0)时，函数y为增函数，
该区间为二次函数的增区间；
(2)当x∈(-∞，-13/2)时，函数y为减函数，
该区间为二次函数的减区间。